BAB 4 Pengukuran Penyimpangan (Range, Deviasi, Varian) PENGUKURAN PENYIMPANGAN

BAB 4

 Pengukuran Penyimpangan (Range, Deviasi, Varian)

PENGUKURAN PENYIMPANGAN

 

Pengukuran penyimpangan adalah suatu ukuran yang menunjukkan tinggi  rendahnya perbedaan data yang diperoleh dari rata-ratanya. Ukuran penyimpangan digunakan untuk mengetahui luas penyimpangan data atau homogenitas data. Dua variabel data yang memiliki mean sama belum tentu memiliki kualitas yang sama, tergantung dari besar atau kecil ukuran penyebaran datanya. Ada bebarapa macam ukuran penyebaran data, namun yang umum digunakan adalah standar deviasi.

Macam-macam ukuran penyimpangan data adalah :

1.                       Jangkauan (range)

2.                       Simpangan rata-rata (mean deviation)

3.                       Simpangan baku (standard deviation)

4.                       Varians (variance)

5.                       Koefisien variasi (Coefficient of variation)

1. Jangkauan (range)

Range adalah salah satu ukuran statistik yang menunjukan jarak penyebaran data antara nilai terendah (Xmin) dengan nilai tertinggi (Xmax). Ukuran ini sudah digunakan pada pembahasan daftar distribusi frekuensi. Adapun rumusnya adalah

Contoh : 

Berikut ini nilai ujian semester dari 3 mahasiswa:

A = 60 55 70 65 50 80 40
B = 50 55 60 65 70 65 55
C = 60 60 60 60 60 60 60

Dari data diatas dapat diketahui bahwa:

A = memiliki Xmax=80, Xmin= 40 , R = 40 , meanya 60
B = memiliki Xmax=70, Xmin= 50 , R = 20 , meanya 60
C = memiliki Xmax=60, Xmin= 60 , R = 0 , meanya 60

Dari contoh di atas dapat disimpulkan bahwa :

a. Semakin kecil rangenya maka semakin homogen distribusinya
b. Semakin besar rangenya maka semakin heterogen distribusinya
c. Semakin kecil rangenya, maka meannya merupakan wakil yang representatif
d.   Semakin besar rangenya maka meannya semakin kurang representatif

2. Simpangan Rata-rata (mean deviation)

Simpangan rata-rata merupakan penyimpangan nilai-nilai individu dari nilai rata-ratanya. Rata-rata bisa berupa mean atau median. Untuk data mentah simpangan rata-rata dari median cukup kecil sehingga simpangan ini dianggap paling sesuai untuk data mentah. Namun pada umumnya, simpangan rata-rata yang dihitung dari mean yang sering digunakan untuk nilai simpangan rata-rata.

·                 Data tunggal dengan seluruh skornya berfrekuensi satu

dimana xi merupakan nilai data

·                 Data tunggal sebagian atau seluluh skornya berfrekuensi lebih dari satu

dimana xi merupakan nilai data

·                 Data kelompok ( dalam distribusi frekuensi)

dimana xi merupakan tanda kelas dari interval ke-i dan fi merupakan frekuensi interval ke-i

Contoh :

Dari tabel diperoleh 

3. Simpangan Baku (standard deviation)

Standar deviasi merupakan ukuran penyebaran yang paling banyak digunakan. Semua gugus data dipertimbangkan sehingga lebih stabil dibandingkan dengan ukuran lainnya. Namun, apabila dalam gugus data tersebut terdapat nilai ekstrem, standar deviasi menjadi tidak sensitif lagi, sama halnya seperti mean.

Standar Deviasi memiliki beberapa karakteristik khusus lainnya. SD tidak berubah apabila setiap unsur pada gugus datanya di tambahkan atau dikurangkan dengan nilai konstan tertentu. SD berubah apabila setiap unsur pada gugus datanya dikali/dibagi dengan nilai konstan tertentu. Bila dikalikan dengan nilai konstan, standar deviasi yang dihasilkan akan setara dengan hasilkali dari nilai standar deviasi aktual dengan konstan.

Rumus Simpangan Baku untuk Data Tunggal

·       untuk data sample menggunakan rumus

·         untuk data populasi menggunkan rumus

Contoh :

Selama 10 kali ulangan semester ini sobat mendapat nilai 91, 79, 86, 80, 75, 100, 87, 93, 90,dan 88. Berapa simpangan baku dari nilai ulangan sobat?

Jawab
Soal di atas menanyakan simpangan baku dari data populasi jadi menggunakan rumus simpangan baku untuk populasi.
Kita cari dulu rata-ratanya
rata-rata = (91+79+86+80+75+100+87+93+90+88)/10 = 869/10 = 85,9

Kita masukkan ke rumus

Rumus Simpangan Baku Untuk Data Kelompok

• untuk sample menggunakan rumus
  

• untuk populasi menggunakan rumus
  

Contoh :

Diketahui data tinggi badan 50 siswa samapta kelas c adalah sebagai berikut

hitunglah berapa simpangan bakunya

1. Kita cari dulu rata-rata data kelompok tersebut

2. Setelah ketemu rata-rata dari data kelompok tersebut kita bikin tabel untuk memasukkannya ke rumus simpangan baku

4. Varians (variance)

Varians adalah salah satu ukuran dispersi atau ukuran variasi.  Varians dapat menggambarkan bagaimana berpencarnya suatu data kuantitatif.  Varians diberi simbol  σ² (baca: sigma kuadrat) untuk populasi dan untuk s² sampel.

Selanjutnya kita akan menggunakan simbol s²  untuk varians karena umumnya kita hampir selalu berkutat dengan sampel dan jarang sekali berkecimpung dengan populasi.

Rumus varian atau ragam data tunggal untuk populasi

Rumus varian atau ragam data tunggal untuk sampel

Rumus varian atau ragam data kelompok untuk populasi

Rumus varian atau ragam data kelompok untuk sampel

Keterangan:

σ² = varians atau ragam untuk populasi

S² = varians atau ragam untuk sampel

f_i = Frekuensi

x_i = Titik tengah

x¯ = Rata-rata (mean) sampel dan   μ = rata-rata populasi

n =  Jumlah data

5. Koefisien variasi (Coefficient of variation)

Koefisien variasi merupakan suatu ukuran variansi yang dapat digunakan untuk membandingkan suatu distribusi data yang mempunyai satuan yang berbeda. Kalau kita membandingkan berbagai variansi atau dua variabel yang mempunyai satuan yang berbeda maka tidak dapat dilakukan dengan menghitung ukuran penyebaran yang sifatnya absolut.

Koefisien variasi adalah suatu perbandingan antara simpangan baku dengan nilai rata-rata dan dinyatakan dengan persentase.

Besarnya koefisien variasi akan berpengaruh terhadap kualitas sebaran data. Jadi jika koefisien variasi semakin kecil maka datanya semakin homogen dan jika koefisien korelasi semakin besar maka datanya semakin heterogen.

Daftas Pustaka :

Suharyadi, & Purwanto. (2009). In Statistika untuk Ekonomi dan Keuangan Modern. Jakarta: Salemba Empat.

Sudjana. (1991). In Statistika. Bandung: Tarsito.

http://vebrianaparmita.wordpress.com/2013/10/06/bab-vi-pengukuran-penyimpangan-range-deviasi-varian/

BAB 6 DISTRIBUSI NORMAL, DISTRIBUSI F & DISTRIBUSI T

BAB 6

DISTRIBUSI NORMAL, DISTRIBUSI F & DISTRIBUSI  T

1.     Distribusi Normal

Distribusi normal menggunakan variabel acak kontinu. Distribusi normal sering disebut DISTRIBUSI GAUSS. Distribusi ini merupakan salah satu yang paling penting dan banyak digunakan. Distribusi ini menyerupai BENTUK LONCENG (BELL SHAPE) dengan nilai rata-rata X sebagai sumbu simetrisnya.

Variabel acak kontinu x mempunyai fungsi densitas pada X = x dinyatakn dengan persamaan :

Dengan :

p = Nila konstan yang ditulis hingga 4 desimal p = 3,1316

e = Bilangan konstan, bila ditulis hingga 4 desimal, e = 2,7183

µ = Parameter, merupakan rata-rata untuk distribusi

σ = Parameter, merupakan simpangan baku untuk distibusi

Jika nilai x mempunyai btas nilai ⎼∞<x<∞, maka dikatakan bahwa variabel acak X berdistribusi normal.

Sifat-sifat penting dari distribusi Normal adalah :

·         Grafik selalu diatas sumbu-X (horisontal)

·         Bentuk simetris terhadap sumbu-Y pada X = µ

·         Mempunyai modus pada X = µ sebesar 0,3989/ σ

·         Grafik mendekati sumbu X pada X = µ-3 µ dan X = µ+3µ

·         Kurva normal digunakan sebagai acuan pengujian hipotesis jika ukuran sempel n≥30

·         Luas daerah yang dibatasi oleh smbu-X dan kurva normal sama dengan satu satuan luas

Untuk tiap pasang μ dan σ, sifat-sifat di atas selalu dipenuhi, hanya bentuk kurvanya saja yang berlainan. Jika σ makin besar, kurvanya makin rendah (platikurtik) dan untuk σ makin kecil, kurvanya makin tinggi (leptokurtik).

u

untuk megubah Distribusi Normal Umum menjadi Distribusi Normal Baku di gunakan rumus :

Perubahan grafik dapat dilihat dalam gambar berikut :

Fenomena distribusi data normal :

• Kira-kira 68,27% dari kasus ada dalam daerah satu simpangan baku sekitar rata-    rata, yaitu antara μ - σ dan μ + σ.

• Ada 95,45% dari kasus terletak dalam daerah dua simpangan baku sekitar rata-       rata, yaitu antara μ - 2σ dan μ + 2σ.

• Hampir 99,73% dari kasus ada dalam daerah tiga simpangan baku sekitar rata-       rata, yaitu antara μ - 3σ dan μ + 3σ.

Jenis bentuk kurva yang diakibatkan oleh perbedaan rentangan nilai dan simpangan baku ada tiga macam:

1. Leptokurtik, merupakan bentuk kurva normal yang meruncing tinggi karena perbedaan frekuensi pada skor-skor yang mendekati rata-rata sangat kecil.

2. Platykurtic, merupakan kurva normal yang mendatar rendah karena perbedaan frekuensi pada skor-skor yang mendekati rata-rata sangat kecil.

3. Normal, merupakan bentuk kurva normal yang biasa, artinya bentuknya merupakan bentuk antara leptokurtic dan platykurtic, karena penyebaran skor biasa dan tidak terjadi kejutan-kejutan yang berati.

2.      Distribusi F

Merupakan  distribusi variabel acak Kontinu. Fungsi densitasnya mempunyai persamaan :

Dimana :

F = Variabel acak yang memenuhi F>0

K = bilanan tetap yang harganya pada derajat kebebasan v₁ dan v₂

V₁  = Derajat kebebasan antara varians rata-rata sampel (sebagai pembilang)

V₂ = derajat kebebasan dalam keseluruhan sampel (sebagai penyebut)

Luas dibawah kurva satu.

Daftar distribusi normal berisikan nilai-nilai F untuk peluang 0,01 dan 0,05 dengan

derajat kekebasan v1 dan v2. Peluang ini sama dengan luas daerah ujung kanan yang

diarsir, sedangkan derajat kekebasan pembilang (v1 ) ada pada baris paling atas dan

derajat kebebasan penyebut (v2) pada kolom paling kiri.

Notasi lengkap untuk nilai-nilai F dari daftar distribusi F dengan peluang p dan dk = (v1,v2) adalah Fp(v1,v2). Demikianlah untuk contoh kita didapat :

F_0.05(24,8) = 3.12 dan F_0,01(24,8 )= 5.28.

Meskipun daftar yang diberikan hanya untuk peluang p = 0.05 dan p = 0.01, tetapi sebenarnya masih bisa didapat nilai-nilai F dengan peluang 0,99 dan 0,95. Untuk ini digunakan hubungan :

Dalam rumus diatas perhatikan antara p dan (1- p) dan pertukaran antara derajat kebebasan (v_1, v₂ ) menjadi (v₂, v₁).

3.      Distribusi T

Distribusi dengan variabel acak kontinu lainnya selain dari distribusi normal ialah DISTRIBUSI STUDENT ATAU DISTRIBUSI - t. Fungsi densitasnya adalah :

Berlaku untuk harga-harga t yang memenuhi ⎼∞<t<∞ K merupakan bilangan tetap yang besarnya bergantung pada n sedemikian sehingga luas daerah di bawah kurva sama dengan satu unit.

Pada distribusi t ini terdapat bilangan (n-1) yang dinamakan derajat kebebasan, akan disingkat dengan dk.

Bentuk kurva-t identik dengan bentuk kurva normal, tetapi kurtosisnya ditentukan oleh besar kecilnya derajat kebebasan df. Untuk n ≥ 30 pola distribusi t mendekati pola distribusi normal.

Dalam tabel distribusi-t kolom paling kiri berisikan derajat kebebasan (dk), baris teratas berisikan nilai peluang.

Gambar dibawah ini merupakan grafik distribusi-t dengan dk = ( n – 1 ). Luas bagian yang diarsir = p dan dibatasi paling kanan oleh tp. Harga tp inilah yang dicari dari daftar untuk pasangan dk dan p yang diberikan.

Daftar pustaka

Irianto, Agus. 2008. Statistik Konsep Dasar dan Aplikasinya. Jakarta: Kencana.

Hasan, Iqbal. 2006. Analisis Data Penelitian dengan Statistik. Jakarta: Bumi Aksara.

Riduwan. Dasar-Dasar Statistika. 2005. Bandung : Alfabeta.

Sudjana. 2002. Metoda Statistika edisi ke 6. Bandung: Tarsito.

Tedjo N Raksonoatmodjo. 2009. Statistika Teknik. Jakarta : Refilka Aditama