Ukuran tendensi sentral

BAB 3

Ukuran Tendensi Sentral

Karakteristik penting untuk ukuran tendensi sentral yang baikUkuran nilai pusat/tendensi sentral (average) merupakan nilai pewakil dari suatu distribusi data, sehingga harus memiliki sifat-sifat berikut:

·    Harus mempertimbangkan semua gugus data

·    Tidak boleh terpengaruh oleh nilai-nilai ekstrim.

·    Harus stabil dari sampel ke sampel.

·    Harus mampu digunakan untuk analisis statistik lebih lanjut.

Kapan kita menggunakan nilai tendensi sentral yang berbeda?Nilai ukuran pusat yang tepat untuk digunakan tergantung pada sifat data, sifat distribusi frekuensi dan tujuan. Jika data bersifat kualitatif, hanya modus yang dapat digunakan. Sebagai contoh, apabila kita tertarik untuk mengetahui jenis tanah yang khas di suatu lokasi, atau pola tanam di suatu daerah, kita hanya dapat menggunakan modus. Di sisi lain, jika data bersifat kuantitatif, kita dapat menggunakan salah satu dari ukuran nilai pusat tersebut, mean atau median atau modus.

Meskipun pada jenis data kuantitatif kita dapat menggunakan ketiga ukuran tendensi sentral, namun kita harus mempertimbangkan sifat distribusi frekuensi dari gugus data.

MEAN

1.       Rata-rata hitung / Mean

Dalam kegiatan penelitian, rata-rata(mean) mempunyai kedudukan yang penting dibandingkan ukuran gejala pusat lainnya. Hampir setiap kegiatan penelitian ilmiah selalu menggunakan rata-rata (mean).

Adapun cara untuk mencari mean dibedakan berdasarkan jenis penyajian data.

a. Data tunggal dengan seluruh skornya berfrekuensi satu

dimana xi = data ke-i dan n = jumlah data

Contoh :

Nilai Statistik dari 10 mahasiswa STMIK adalah sebagai berikut :
8 6 6 7 8 7 7 8 6 6

jadi meannya adalah 

b. Data tunggal sebagian atau seluruh skornya berfrekuensi lebih dari satu,

Maka :

dengan xi merupakan nilai data

c. Data kelompok (dalam distribusi frekuensi) Cara mencari mean data kelompok ada dua , yaitu cara panjang dan cara pendek (sandi).

a)  Cara panjang

dengan xi merupakan tanda kelas dari interval ke-i
dan f merupakan frekuensi interval ke-i

b) Cara pendek / sandi

Adapun langkah- langkanya adalah sebagai berikut :

1. Ambil sembarang tanda kelas ( biasanya yang letaknya ditengah) , misalnya x0

2. Hitung ci dengan rumus

dimana p merupakan panjang interval

3. Rumusan mean dengan cara pendek

Contoh diperoleh rata-rata sebagai berikut :

a. Cara panjang

Berdasarkan persamaan pada cara panjang diperoleh rata-rata hitung dari data tersebut adalah

b. Cara pendek / sandi

Diambil x0 = 63,5 (tanda kelas ke-4) dan diketahui p = 8, maka diperoleh

Berdasarkan persamaan pada cara pendek/sandi diperoleh rata- rata hitung

2. Rata-rata Tertimbang

Rata-rata tertimbang adalah rata-rata yang memperhitungkan frekuensi dari tiap-tiap nilai variabel. Rumus untuk rata-rata ini adalah :

Contoh :

Jika 5 mahasiswa mendapat nilai 70 : 6 mahasiswa mendapat 69 : 3 mahasiswa mendapat nilai 45 : 1 seorang mahasiswa mendapat nilai 80 : 1 dan seorang lagi mendapat nilai 56 untuk data tersebut sebaliknya ditulis sebagai berikut :

Pada nilai rata-rata ujian tersebut untuk ke-16 mahasiswa itu ialah :

3. Rata-rata Gabungan

Rata-rata gabungan, yaitu rata-rata dari beberapa sampel lalu disajikan satu. Rata-rata gabungan adalah cara yang tepat untuk menggabungkan rata-rata hitung dari beberapa sampel.

Contoh :

Tiga sub sampel masing-masing berukuran 10, 6, 8 dan rata-ratanya 145, 118, dan 162. Berapa rata-ratanya?

Jawab

Ø  MODUS (Mo)

Modus adalah nilai yang mempunyai frekuensi paling banyak. Modus tidak harus tunggal,artinya nilainya bisa lebih dari satu. Adapun cara mencari modus untuk data tunggal tinggal dilihat frekuensinya. Untuk data dalam daftar distribusi frekuensi, modus ditentukan dengan rumus :

Dengan:
b = batas bawah kelas modus yaitu kelas interval dengan frekuensi terbanyak
p = panjang interval kelas modus

b1 = frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas sebelum kelas modus
b2 = frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas sesudah kelas modus

Jika rumus di atas digunakan untuk mencari modus dari tabel di bawah ini

Maka diperoleh :
a. kelas modus = kelas ke-4
b. b = 59,5
c. b1 = 15 – 6 = 9
d. b2 = 15 – 13 = 2
e. p = 8

Ø  MEDIAN (Me)

Median adalah suatu nilai yang membagi distribusi data menjadi dua bagian yang sama besar atau suatu nilai yang menbagi 50% frekuensi bagian atas dan 50% frekuensi bagian bawah, sehingga frekuensi yang terdapat di atas sama dengan frekuensi yang trdapat di bawah. Oleh karena itu median dari sejumlah data tergantung pada frekuensinya bukan variasi nilai- nilainya.
Adapun cara mencari median, antara lain :

a.   Data tunggal sebagian atau seluluh skornya berfrekuensi lebih dari satu

b.       Sebelum dihitung mediannya, data diurutkan lebih dulu dari data yang terkecil ke yang terbesar. Rumusan median untuk data tunggal dibedakan jadi dua, yaitu :

Contoh
1. Untuk contoh tabel sebelumnya dengan data 8 6 6 7 8 7 7 8 6 6.
Setelah data diurutkan diperoleh 6 6 6 6 7 7 7 8 8 8. Jumlah data genap sehingga untuk mencari median digunakan rumus di atas dan diperoleh

2. Diketahui data sebagai berikut.

Tentukan median dari data di atas!

Untuk data di atas diketahui n ganjil, sehingga untuk mencari median digunakan rumus pertama dan diperoleh :

c.        Data kelompok ( dalam distribusi frekuensi) Untuk data yang disusun dalam daftar distribusi frekuensi, median dihitung dengan rumus :

Dengan:
b = batas bawah kelas median
p = panjang kelas median
n = jumlah data
F = jumlah frekuensi kumulatif sebelum kelas median
f = frekuensi kelas median

Contoh
Dari tabel sebelumnya diperoleh kelas median terletak pada interval ke-4, sehingga diperoleh b = 59,5 ; p = 8; n = 50 ; F = 15 dan f = 15 akibatnya

Ø  Kuantil (N –til)

Definisi :

Kuantil (N-til) merupakan sekumpulan data yang dibagi menjadi (N-1) kelompok dan untuk menentukan letak data , terlebih dahulu data diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar.

Sehingga :

untuk N = 4 disebut kuartilartinya setelah data dirutkan , kemudian dibagi dalam 3 kelompok ;

N = 10 disebut desil artinya setelah data diurutkan , kemudian dibagi dalam 9 kelompok

N = 100 disebut persentil artinya setelah data diurutkan , kemudian dibagi dalam 99 kelompok.

Kuantil Untuk Data Tunggal

Definisi: Untuk menentukan letak data ke –i dari suatu kuantil digunakan rumus :

Letak Ke i = data ke

  Dengan :            I = letak ke i

n = banyak data

N = jenis kuantil

Diberikan data sampel seperti berikut.

63 52 35 55 60 40 45 70 30 64 35 45 43

Tentukan :Kuartil ke 1 (K1)

Kuartil ke 3 (K3)

Penyelesaian : Data diurutkan terlebih dahulu:

30 35 35 40 43 45 45 52 55 60 63 70

berarti n = 12 dan N = 4

a)     Kuartil ke –1 adalah Letak (K1) = data ke (1(12+1)/4) = 3,25

Sehingga K1 = data ke-3 + (1/4) (data ke-4 -data ke-3)

= 35 + (1/4)(40-35)

= 35 + (5/4)

= 36,25b)

b)    Kuartil ke –3 adalah Letak (K3) = data ke (3(12+1)/4)

=  9,75

Sehingga K3 =  data ke-9 + (3/4)(data ke-10 -data ke-9)

 =   35 + (3/4)(60 –55)

 =  58,75

Kuantil untuk Data yang Dikelompokkan

Definisi :

Untuk menentukan letak kuantil ke-i dari data yang dikelompokkan digunakan rumus seperti berikut.

Kuantil ke-i =

Dengan : Lki = batas bawah kelas ke-i

 N = jenis kuantil

 F = jumlah frekuensi sebelum kelas ke-I

 f = frekuensi kelas ke-I

Daftar Pustaka :

Suharyadi, & Purwanto. (2009). In Statistika untuk Ekonomi dan Keuangan Modern. Jakarta: Salemba Empat.

Sudjana. (1991). In Statistika. Bandung: Tarsito.

http://vebrianaparmita.wordpress.com/2013/09/21/bab-iv-pengukuran-gejala-pusat-mean-modus-median/